2006-11-7 10:06 PM
chanpang
[书籍] 古算書 甄鸞 《五經算術》
卷上〉xR1gLoA wZ.b*Q
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《尚書》定閏法：
「帝曰：咨汝羲暨和，期三百有六旬六日。以閏月定四時成歲。」孔氏
注云：「咨，嗟；暨，與也。匝四時曰期。一歲十二月，月三十日，正三百
六十日。除小月六為六日，是為一歲。有餘十二日，未盈三歲足得一月，則,ZL&U7v!yO
置閏焉。以定四時之氣節，成一歲之曆象。」
甄鸞按：一歲之閏惟有十日九百四十分日之八百二十七。而云餘十二日I Qv%N"q
者，理則不然。何者？十九年七閏，今古之通軌。以十九年整得七閏，更無
餘分。故以十九年為一章。今若一年有餘十二日，則十九年二百二十八日。(E+^:y#?c:iY]
若七月皆小，則賸二十五日；若七月皆大，猶餘十八日。先推日月合宿，以
定一年之閏，則十九年七閏可知。
推日月合宿法：
置周天三百六十五度於上，四分度之一於下‧又置月行十三度十九分度
之七。除其日一度，餘十二度。以月分母十九乘十二度，積二百二十八；內0k I&y(]h"C7L|
子七得二百三十五為章月。以度分母四乘章月得九百四十日為法。又以四分
乘度三百六十五，內子一，得一千四百六十一。乃以月行分母十九乘之，得
二萬七千七百五十九為周天分。以日法九百四十除之，得二十九日，不盡四
百九十九。即是一月二十九日九百四十分日之四百九十九。與日合宿也。
求一年定閏法：
D.kL cnb q
置一年十二月。以二十九日乘之，得三百四十八日。又置十二月，以日 r/V*{K5c~[$Q
分子四百九十九乘之，得五千九百八十八。以日法九百四十除之，得六日。+A/fE V-b II ?
從上三百四十八日，得三百五十四日，餘三百四十八。以三百五十四減周天
三百六十五度，不盡十一日。又以餘分三百四十八減章月二百三十五。而章!Y9Cd!Fgyy(E
月少，不足減。上減一日，下加法九百四十分，得一千一百七十五。以實餘.N4Fx;T'BO2?
三百四十八乃減下法，餘八百二十七。是為一歲定閏十日九百四十分日之八Q5q{ se'h3Eb(\,K
百二十七。
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求十九年七閏法：
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置一年閏十日，以十九年乘之得一百九十日。又以八百二十七分，以十
九年乘之得一萬五千七百一十三。以日法九百四十除之，得十六日，餘六百
七十三。以十六加上日，得二百六日。以二十九除之，得七月，餘三日。以$Rsp!C{)gG6o-c
法九百四十乘之，得二千八百二十。以前分六百七十三加之，得三千四百九
十三。以四百九十九命七月分之，適盡。是謂十九年得七閏月，月各二十九
日九百四十分日之四百九十九。]7x3~jA.Q?.W2q6q
] t_;Uh#b
《尚書》、《孝經》「兆民」注數越次法：8s+ZZ*EF;b+e
「天子曰兆民，諸侯曰萬民。」甄鸞按：呂刑云：「一人有慶，兆民賴
之」注云：「億萬曰兆。天子曰兆民，諸侯曰萬民。」又按周官：乃經土地-tL.L1v*\h*Y_ ~
而井，牧其田野。九夫為井，四井為邑，四邑為邱，四邱為甸，四甸為縣，
四縣為都。以任地事而令貢賦。凡稅斂之事，所以必共井者，存亡更守，入(h9f#y t _-Z@y i
出相同，嫁娶相媒，有無相貸，疾病相憂，緩急相救，以所有易以所無也。
兆民者，王畿方千里，自乘得兆井。王畿者，因井田立法，故曰兆民。若言
兆井之民也。如以九州地方千里者九言之，則是九兆，其數不越於兆也。諸 nC I y9s I,TF
侯曰萬民者，公地方百里，自乘得一萬井。故曰萬民。所以言侯者，諸侯之
通稱也。6D*}8z;aV o j+`
)}1[^ J I Nq sB:q
按注云：「億萬曰兆」者，理或未盡。何者？按黃帝為法，數有十等。
及其用也，乃有三焉。十等者，謂億、兆、京、垓、秭、壤、溝、澗、正、_s ^JY DV|
載也。三等者，謂上、中、下也。其下數者，十十變之。若言十萬曰億，十J Y a#Kf$\j
億曰兆，十兆曰京也。中數者，萬萬變之。若言萬萬曰億，萬萬億曰兆，萬jM#}w.B fx+g7V"C3R
萬兆曰京也。上數者，數窮則變。若言萬萬曰億，億億曰兆、兆兆曰京也。
若以下數言之，則十億曰兆；若以中數言之，則萬萬億曰兆；若以上數言之
，則億億曰兆。注乃云「億萬曰兆」者，正是萬億也。若從中數，其次則需
有十萬億、次百萬億、次千萬億、次萬萬億曰兆。三數並違，有所未詳。按Gj@#|gw;n
尚書無此注，故從孝經注釋之。3x5fv&?l;CF
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《詩》伐檀毛、鄭注不同法： EO f8S d yk y
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「不稼不穡，胡取禾三百億兮；不狩不獵，胡瞻爾庭，有縣特兮。」注7s R"@[NK%J
云：「萬萬曰億。獸三歲曰特。」箋云：「十萬曰億。三百億，禾秉之數也
。」;VN9B4\%v"_!G
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甄鸞按：黃帝為法，數有十等。及其用也，乃有三焉。十等者，謂億、B`K ?+|0v ]{V
兆、京、垓、秭、壤、溝、澗、正、載。三等者，謂上、中、下也。其下數k0?A Te P
者，十十變之。若言十萬曰億，十億曰兆，十兆曰京也。中數者，萬萬變之
。若言萬萬曰億，萬萬億曰兆，萬萬兆曰京也。上數者，數窮則變。若言萬
萬曰億，億億曰兆、兆兆曰京也。據此而言，鄭用下數，毛用中數矣。
)zl8g f4IF0k
《詩》豐年毛注數越次法：
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「豐年多黍多稌，亦有高廩，萬億及秭。」毛注云：「豐，大；稌，稻m)K|"ZE.y x+Z u
。廩所以藏齋盛之穗。數萬至萬曰億；數億至億曰秭。」箋云：「豐年，大
有之年。萬億及秭，以言穀數多也。」8^kKm iT(EKk
甄鸞按：毛注云數萬至萬曰億者，此即中數，萬萬曰億也。又云數億至4k} {'\#v na
億曰秭者，或有可疑。何者？按黃帝數術云：中數者，萬萬曰億，萬萬億曰
兆，萬萬兆曰京，萬萬京曰垓，萬萬垓曰秭。此應云數億至垓曰秭，而言數
億至億曰秭者，有所未詳。
《周易》策數法： y R'Ps!B8Z6q
J5yc(E&M+FX;|
「天地之數五十有五，此所以成變化而行鬼神也。乾之策二百一十有六
；坤之策百四十有四。凡三百有六十，當期之日。二篇之策，萬有一千五百
二十，當萬物之數也。是故四營而成易，十有八變而成卦；八卦而小成。引
而申之，觸類而長之，天下之能事畢矣。」(Yq4xa7{:?Fx!~
甄鸞按：天以一生水，地以二生火，天以三生木，地以四生金，天以五3no fl/k R&Y
生土。天數奇，二十五；地數耦，三十。并天地之數，合五十五，謂之大衍
之數。揲蓍得乾者，三十六策然後得九一爻。爻有三十六策。合二百一十六 u\%H pg
。揲蓍得坤者，二十四策然後得六一爻。爻有二十四策。合一百四十四。并
乾坤之策，三百六十。當一期之日者，舉全數也。上、下經有六十四卦，卦
有六爻，合三百八十四爻。陰陽各半，陽爻稱九，陰爻稱六。九、六各百九
十二也。陽爻以三十六策乘之，得六千九百一十二；陰爻以二十四乘之，得JiY)Z h'}qJ-]vf
四千六百八。并陰陽之策，合得一萬一千五百二十也。四營者，仰象天，俯
法地，近取諸身，遠取諸物也。十八變者，三變而成爻，十八變而六爻也。
八卦而小成者，言雖成易，猶未備也。3r x]8y!vy-_]
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《論語》「千乘之國」法：KM+c6|QY|)F(r
「子曰：『導千乘之國。…』」注云：「司馬法：六尺為步，步百為畝
，畝百為夫，夫三為屋，屋三為井，井十為通，通十為成，成出革車一乘。 X ~WN+T
然則千乘之賦，其地千成也。」今有千乘之國，其地千成，計積九十億步。r#z x"Ls
問為方幾何？#f%{9r @M"d7M T
K~*_&K@&DFR2j+O
答曰：三百一十六里六十八步一十八萬九千七百三十七分步之六萬二千
五百七十六。
X9R k N5E ^T
術曰：置積步為實，開方除之即得。N-Xx"r-oX } M
按千乘之國，其地千成。方十里，置一乘地十里，以三百步乘之，得三 O uT4^w.m
千步。重張相乘，得九百萬步。又以千成乘之，得積九十億步。以開方除之I u ^ K&hA#X!bA
，即得方數。
開方法曰：借一算為下法。步之常超一位，至萬而止。置上商九萬於實
之上。又置九億於實之下，下法之上，名曰方法。命上商九萬以除實畢。倍
方法九億得十八億。乃折之：方法一折，下法再折。又置上商四千於上，以v2F U ?5q3C
次前商之後。又置四百萬於方法之下，下法之上，名曰隅法。方、隅皆命上Aj oM&k
商四千以除實畢。倍隅法得八百萬。上從方法，得一億八千八百萬。乃折之
：方法一折，下法再折。又置上商八百於上，以次前商之後。又置八萬於方kP*a(lLJ~!m x
法之下，下法之上，名曰隅法。方、隅皆命上商八百以除實畢。倍隅法得十 O'a d2_1U\J
六萬。上從方法，得一千八百九十六萬。乃折之：方法一折，下法再折。又-r$z dS_ zc9n\ T
置上商六十於上，以次前商之後。又置上商六十於上，以次前商之後。又置
六百於方法之下，下法之上，名曰隅法。方、隅皆命上商六十以除實畢。倍.NL m$Nc _3Zd U"d i
隅法得一千二百。上從方法，得一百八十九萬七千二百。乃折之：方法一折.~)k K2}Wx
，下法再折。又置上商八於上，以次前商之後。又置八於方法之下，下法之
上，名曰隅法。方、隅皆命上商八以除實畢。倍隅法得一十六。上從方法， my F1t2C$c$B2`
下法一亦從之，得一十八萬九千七百三十七分步之六萬二千五百七十六。以
里法三百步除之，得三百一十六里。不盡六十八步。即得三百一十六里六十
八步一十八萬九千七百三十七分步之六萬二千五百七十六也。Q4E/i }tN&U6Y,s$C
;e,v,`3|,UG:Y YTH
周官車蓋法：
「參分弓長，以其一為尊。」注云：「尊，高也。六尺之弓，上部近平m N'hCU/l1I
者二尺。爪末下於部二尺。二尺為句，四尺為弦，求其股。股十二。開方除KiE9y Ft8NE W q_ a
之，面三尺幾半。」
甄鸞按：句股之法，橫者為句，直者為股，斜者為弦。若句三，則股四
而弦五。此自然之率也。今此車蓋，句二弦四則股三，此亦自然之率矣。求
之法，句、股各自乘，并而開方除之，即弦也。股自乘，以減弦自乘，其餘6r!g/K)Q$b)g&X T
開方除之，即句也。句自乘，以減弦自乘，其餘開方除之，即股也。假令句
三自乘得九，股四自乘得十六，并之得二十五，開方除之得五，弦也。股四
自乘得十六；弦五自乘得二十五，以十六減之，餘九。開方除之得三，句也
。句三自乘得九，弦五自乘得二十五，以九減之，餘十六。開方除之得四，
股也。今車蓋崇二尺，弓四尺。以崇下二尺為句，弓四尺為弦，為之求股。6l-Q%Y!e9M1^?~w
求股之法，句二尺自乘得四，弦四尺自乘得十六。以四減十六，餘十二。開E B/m:z/eE't8u"Y
方除之，得三，即股三尺也也。餘三，倍方法得六；又以下法一從之得七。
即股三尺七分尺之三。故曰幾半也。
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《儀禮》喪服絰帶法：
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「苴絰大搹，左本在下。去五分一以為帶。齊衰之絰，斬衰之帶也，去
五分一以為帶。大功之絰，齊衰之帶也，去五分一以為帶。小功之絰，大功
之帶也，去五分一以為帶。緦麻之絰，小功之帶也，去五分一以為帶。」注~6}!l/~ Bgo
云：「盈手曰搹。搹，扼也。中人之扼圍九寸。以五分一為殺者，象五服之O3N1S q;I'L
數。」今有五服衰絰，迭相差五分之一。其斬衰之絰九寸，問齊衰、大功、
小功、緦麻絰各幾何？%Y B g*@mw
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答曰：齊衰七寸五分寸之一、大功五寸二十五分寸之十九、小功四寸一;AnD#O)ze n%R'X
百二十五分寸之七十六、緦麻三寸六百二十五分寸之四百二十九。
甄鸞按：五分減一者，以四乘之，以五除之。置斬衰之絰九寸，以四乘
之得三十六為絰實；以五除之得齊衰之絰七寸五分寸之一。以母五乘七寸得 tT`(h E/EQ3?
三十五；內子一得三十六。以四乘之得一百四十四為實。以五乘下母五得二hp9j'E N,@M `
十五為法。除之得大功絰五寸二十五分寸之十九。以母二十五乘五寸得一百%[fi|G2G e W;F
二十五，內子十九，得一百四十四。以四乘之得五百七十六為實。以五乘下
母二十五得一百二十五為法。以除之，得小功絰四寸一百二十五分寸之七十W4Oe\t-i
六。以母一百二十五乘絰四寸，得五百。內子七十六，得五百七十六，又以
四乘之得二千三百四為實。以五乘下母一百二十五得六百二十五為法。以除jd}.j Ak t
之，得緦麻之絰三寸六百二十五分寸之四百二十九。
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喪服制食米溢數法：
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「朝一溢米，夕一溢米。」注云：「二十兩曰溢，一溢為米一升二十四
分升之一。」
甄鸞按：一溢為米一升二十四分升之一法：置一斛米，重一百二十斤。
以十六乘之，為積一千九百二十兩。以溢法二十兩除之，得九十六溢為法。
以米一斛百升為實。實如法得一升。不盡四升，與法具再半之，名曰二十四)b(Q~+}wi:vX
分升之一。稱法：三十斤曰鈞，四鈞曰石。石有一百二十斤也。所以名斛為
石者，以其一斛米重一百二十斤故也。
《禮記》王制國及地法：
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凡四海之內有九州。大界方三千里。三三而九，計方一千里者有九也。
今為里田之法，方一千里為廣一里，則長一百萬里也。分方一千里為畿內，-gPt GK
餘為八州。州各得方一千里。各以方里自乘為積里。諸國皆倣方一百里國三
十。一國萬里，三十國合三十萬里。方七十里國六十。一國四千九百里，六3E2E1I/dna
十國合二十九萬四千里。方五十里國一百二十。一國二千五百里，一百二十
國合三十萬里。上法一州有二百一十國，合地八十九萬四千里。以減一州之,O W3t'M&\9k
地大數一百萬里，餘一十萬六千里為閒田。此據一州而言。若八州則地七百RN0m x q1|F
一十五萬二千里，以減八州八百萬里，餘八十四萬八千里為閒田。
$A7Gb2} c5n i1w
畿內方百里國九。一國萬里，九國合九萬里。方七十里國二十一。一國Z Z3x/[-W%L3uj*S ?$k']
四千九百里，二十一國合十萬二千九百里。方五十里國六十三。一國二千五
百里，六十三國合十五萬七千五百里。上法畿內有九十三國，計地三十五萬(z`f y%j0F_
四百里。以減一百萬里，餘六十四萬九千六百里為閒田。以八州之地七百一
十五萬二千里，并畿內三十五萬四百里，九州之國合地七百五十萬二千四百+E z@a Y M\S:?
里。以減九州之地大數九百萬里，餘一百四十九萬七千六百里為閒田。此商
制也。
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鄭注云：「周公制禮，九州大界方七千里。七七四十九，即四千九百萬
里。計方一千里者，四十九也。」分方千里為畿內，餘為八州。州各得一千
里者六。一州合地六百萬里。方五百里國四。一國二十五萬里，四國合一百
萬里。方四百里國六。一國十六萬里，六國合九十六萬里。方三百里國十一
。一國九萬里，十一國合九十九萬里。方二百里國二十五。一國四萬里，二4d)fWDH|sdK[
十五國合一百萬里。方一百里國一百六十四。一國一萬里，一百六十四國合
一百六十四萬里。上法，一州二百一十國，計地五百五十九萬里。以減一州9A&k+^y u a L-G
之地大數六百萬里，餘四十一萬里，為附庸閒田。ZmpQv
NP p0h Y3t)u;j
按《周禮》據千里為法，則公國四，侯國六，伯國十一，子國二十五，1s6O;H?N
男國一百六十四。合二百一十國者，非周之數矣。據地方一千里為地一百萬
里。五國合為地五百萬里。方百里者五十九。方百里為地一萬里。五十九國
合為地五十九萬里。上二法，計得地五百五十九萬里。容前二百一十國，餘_0g0o,I ^{:} M P E;V
方百里者四十一。方百里為地一萬里；百里之國四十一，為地四十一萬里。
上據地以下三法，合地六百萬里。一州之大數。
「古者以周尺八尺為步，今以周尺六尺四寸為步。古者百畝當今東田百 H rG t\R*h gY.i
四十六畝三十步。古者百里當今百二十一里六十步四尺二寸二分。」注云：i$h fE_!{
「周尺之數，未之詳聞。按禮制，周猶以十寸為尺。蓋六國時多變亂法度。/z/HD/C"K R q,V3],K
或言周尺八寸，則步更為八八六十四寸。以此計之，古者百畝當今百五十六
畝二十五步。古者百里當今百二十五里也。」
甄鸞按：「古者以周尺八尺為步，今以周尺六尺四寸為步。古者一百畝 }m i5q Ba3xo
當今東田一百四十六畝三十步。」計之法：置古步八尺，以八寸乘之為六十6L _,vK/U:oN
四寸。自相乘得四千九十六寸為古步法。又置今步六尺，以八寸乘之，內四 E"r,Ar"E[
寸，得五十二寸。自相乘得二千七百四寸為今步法。置田一百畝，以百步乘2g1W5ry1|+O
之得一萬步。以古步法乘之，得四千九十六萬寸為實。以今步法二千七百四
寸除之，得一萬五千一百四十七步。不盡二千五百一十二寸，約之得一百六!k1s9R l*z'D)|"A
十九分步之一百五十七。以畝法一百步除積步，得一百五十一畝，餘四十七4Q vs1awpE
步及分。以經中東田一百四十六畝三十步減之，計賸五畝一十七步及分。此
即經自不合。"B;C/L/\-p9[J
m#i q cQX1\R/T7r*X
求經云：「古者百里當今一百二十二十一里六十步四尺二寸二分」法：
置百里，以三百步乘之，得三萬步。以古一步六十四寸乘之，得一百九十二"G^ q_:f x1K
萬寸。以今步法五十二寸除之，得三萬六千九百二十三步，餘四寸。以里法
三百步除積步，得一百二十三里，不盡二十三步四寸。以經中一百二十一里
六十步四尺二寸二分減之，計賸一里二百六十二步一尺三寸八分。亦經自不d&S @5oq b8w
合。#l i zC*{]:\!z s0J2G
求鄭氏注云：「古者百畝當今一百五十六畝二十五步。」依鄭計之法：
置經中古者八十寸，今六十四寸相約。古步率得五，今步率得四。古步率五
自乘得二十五為古步法；今步率四自乘得十六為今步法。置田一百畝為一萬 nDa \G D
步。以古步法二十五乘之得二十五萬。以今步法十六除之得一萬五千六百二e1_~C:G q-o#[
十五步。以畝法一百步除之，得一百五十六畝，不盡二十五步。
GU)toY]
求鄭注云：「古者百里當今一百二十五里」法：置一百里，以三百步乘
之，得三萬步。以古步率五乘之，得一十五萬為實。以今步率四乘里法三百
步，得一千二百為法。實如法而一，得一百二十五里。按經自不合；鄭注又 d S c m&@ h
不與經同。未詳所以。
eC!v d"J/Q'V
Wcd5M9u#G)fq v
〈卷下〉
{&G0`r'x:w U3\)[#Uo r6`
,?])H;@#_v-k
《禮記》月令黃鍾律管法：9mny,g t l og
Y U:iSY_q j
黃鍾術曰：置一算，以三九遍因之為法。置一算，以三因之得三，又三
因之得九，又三因之得二十七，又三因之得八十一，又三因之得二百四十三
，又三因之得七百二十九，又三因之得二千一百八十七，又三因之得六千五QK2^STe@Z$e
百六十一，又三因之得一萬九千六百八十三為法。即是黃鍾一寸之積分。重
張其位於上，以三再因之，為黃鍾之實。以法除之，得黃鍾，十一月，管長
九寸。A H7rc?0um
置黃鍾一寸積分一萬九千六百八十三。以三因之得五萬九千四十九。又
置五萬九千四十九。以三因之得十七萬七千一百四十七，為黃鍾實。以寸法 o j SKfM E
一萬九千六百八十三除實，得黃鍾之管長九寸。
x)C2yS$c R
黃鍾下生林鍾，六月，管長六寸。置黃鍾管長九寸。以二乘之得十八，Y,{u$vitc c-Hs
以三除之得林鍾管長六寸。Q y0J"DM
林鍾上生太蔟，正月，管長八寸。置林鍾管長六寸。以四乘之，得二十
四。以三除之，得太蔟管長八寸。
Db:ZIhifgJ
太蔟下生南呂，八月，管長五寸三分寸之一。置太蔟之管八寸。以二乘
之得十六；以三除之，得南呂之管長五寸三分寸之一。
\ S+`5R2c3[4h
南呂上生姑洗，三月，管長七寸九分寸之一。置南呂管長五寸。以分母n;]@`7q
三乘之，內子一得十六。以四乘之，得六十四。以三乘法三得九為法以除之
，得姑洗之管長七寸九分寸之一。
姑洗下生應鍾，十月，管長四寸二十七分寸之二十。置姑洗管長七寸。
以分母九乘之，內子一得六十四。以二乘之得一百二十八。以分母九乘法三
得二十七為法以除之，得應鍾之管長四寸二十七分寸之二十。 r'Dn)ph2e u
0k qpBI|8e y+p9k_
應鍾上生蕤賓，五月，管長六寸八十一分寸之二十六。置應鍾管長四寸A+H9p3oV Q&Oa
。以分母二十七乘之，內子二十得一百二十八。以四乘之，得五百一十二。
以分母二十七乘法三得八十一為法。除之得蕤賓管長六寸八十一分寸之二十
六。5w-O(d Uy.g&m d4A4q]
蕤賓上生大呂，十二月，管長八寸二百四十三分寸之一百四。置蕤賓管-I"j @8I:f1LO
長六寸。以分母八十一乘之，內子二十六得五百一十二。以四乘之得二千四
十八為實。以分母八十一乘法三得二百四十三為法。除之得大呂之管長八寸
二百四十三分寸之一百四。y^,ee.MY
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大呂下生夷則，七月，管長五寸七百二十九分寸之四百五十一。置大呂
管長八寸。以分母二百四十三乘之，內子一百四得二千四十八。以二乘之，-S\h0z [y@W8O}f
得四千九十六為實。以分母二百四十三乘法三得七百二十九為法。除之得夷
則管長五寸七百二十九分寸之四百五十一。"F I{/p&[3I2@
夷則上生夾鍾，二月，管長七寸二千一百八十七分寸之一千七十五。置
夷則管長五寸。以分母七百二十九乘之，內子四百五十一得四千九十六。以
四乘之得一萬六千三百八十四為實。以分母七百二十九乘法三得二千一百八
十七為法。除之得夾鍾管長七寸二千一百八十七分寸之一千七十五。
夾鍾下生無射，九月，管長四寸六千五百六十一分寸之六千五百二十四
。置夾鍾管長七寸。以分母二千一百八十七乘之，內子一千七十五得一萬六 vX \ FW
千三百八十四。以二乘之，得三萬二千七百六十八為實。以分母二千一百八N3o)Fi Dq2UK Y
十七乘法三得六千五百六十一為法。除之得無射管長四寸六千五百六十一分[`h d*~2a}
寸之六千五百二十四。Hq!uFzE
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無射上生中呂，四月，管長六寸一萬九千六百八十三分寸之一萬二千九&J:q c-W fA!SB
百七十四。置無射管長四寸。以分母六千五百六十一乘之，內子六千五百二e o7db D#z.su
十四得三萬二千七百六十八。以四乘之得十三萬一千七十二為實。以分母六[-B p9e*I h X*Z$R
千五百六十一乘法三得一萬九千六百八十三為法。除之得中呂之管長六寸一uk+A/nv(x&pI
萬九千六百八十三分寸之一萬二千九百七十四。 K\^^/i6f? `
J/O*B e@8v+O P)~
《禮記》禮運注始於黃鍾終於南呂法：
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「五行之動迭相竭。五行、四時、十二月還相為本。五聲、六律、十二^;G-h ~V,pk
管還相為宮。五味六和、十二食還相為滑。五色、六章、十二衣還相為質。
」注云：「竭猶負載也。言五行運轉，更相為始。五聲宮、商、角、徵、羽
。其管陽曰律；陰曰呂。布在十二辰，始於黃鍾九寸。下生者三分去一；上z@ }%T? Z+]
生者三分益一，終於南呂。更相為宮，凡六十律。」
4[6ty w'Z i9Sj
甄鸞按：五聲、六律、十二管還相為宮，終於南呂：
黃鍾為宮，林鍾為徵，太蔟為商，南呂為羽，姑洗為角；
林鍾為宮，太蔟為徵，南呂為商，姑洗為羽，應鍾為角；
太蔟為宮，南呂為徵，姑洗為商，應鍾為羽，蕤賓為角；A)k8S2ovO3Q
南呂為宮，姑洗為徵，應鍾為商，蕤賓為羽，大呂為角；
姑洗為宮，應鍾為徵，蕤賓為商，大呂為羽，夷則為角；3k6Q`+}xc3Zf,]
應鍾為宮，蕤賓為徵，大呂為商，夷則為羽，夾鍾為角；
蕤賓為宮，大呂為徵，夷則為商，夾鍾為羽，無射為角；
大呂為宮，夷則為徵，夾鍾為商，無射為羽，中呂為角；J{b!n-tDW'Xj2F
夷則為宮，夾鍾為徵，無射為商，中呂為羽，黃鍾為角；
夾鍾為宮，無射為徵，中呂為商，黃鍾為羽，林鍾為角；
無射為宮，中呂為徵，黃鍾為商，林鍾為羽，太蔟為角；8xm5q3Rw(M
中呂為宮，黃鍾為徵，林鍾為商，太蔟為羽，南呂為角；5v'T%`1y0LY
5\,u8k^4g,C8K1g \
甄鸞按：《禮記》注一本乃有云：「始於黃鍾，終於南事」者，更顯之O N.R,dO p^2S1?
於後。
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禮運一本注「始於黃鍾，終於南事」法：
甄鸞按：司馬彪律曆志：
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黃鍾下生林鍾，林鍾上生太蔟，太蔟下生南呂，南呂上生姑洗，姑洗下.j"d:w3Y zSO G5n
生應鍾，應鍾上生蕤賓，蕤賓上生大呂，大呂下生夷則，夷則上生夾鍾，夾
鍾下生無射，無射上生中呂，中呂上生執始，執始下生去滅，去滅上生時息
，時息下生結躬，結躬上生變虞，變虞下生遲內，遲內上生盛變，盛變上生
分否，分否下生解形，解形上生開時，開時下生閉掩，閉掩上生南中，南中
上生丙盛，丙盛下生安度，安度上生屈齊，屈齊下生歸期，歸期上生路時，
路時下生未育，未育上生離宮，離宮上生凌陰，離宮下生去南，去南上生族R)V'U*IUT_K
嘉，族嘉下生鄰齊，鄰齊上生內負，內負上生分動，分動下生歸嘉，歸嘉上 i2XOd.f Wb:}
生隨期，隨期下生未卯，未卯上生形始，形始下生遲時，遲時上生制時，制
時上生少出，少出下生分積，分積上生爭南，爭南下生期保，期保上生物應
，物應上生質末，質末下生否與，否與上生形晉，形晉下生夷汗，夷汗上生
依行，依行上生色育，色育下生謙待，謙待上生未知，未知下生白呂，白呂.G ?/Dg;l D$a!\+uZh D
上生南授，南授下生分烏，分烏上生南事，南事不生。
甄鸞按：司馬彪志序云：「漢興，北平侯張蒼首治律曆。孝武正樂，置 Q+Z \%Hj \
協律之官。至元始中，博徵通知鍾律者，考其意義。劉歆典領條奏。前史班a3ixC'yvY1I3X
固取以為志。而元帝時，郎中京房之五聲之音，六律之數。上使太子太傅元FRy"_"] k
成、諫議大夫章雜試問房於樂府。房對：受學故小黃令焦延壽。六十律相生`T Ca*O \Sy
之法：以上生下皆三生二；以下生上皆三生四。陽下生陰；陰上生陽。始於hLLq3ufX#p F7P
黃鍾；終於中呂，而十二律畢矣。夫十二律之變至於六十，猶八卦之變至於 } ~ ]6I4P#a
六十四也。宓羲作易，紀陽氣之初，以為律法建日冬至之聲。以黃鍾為宮，
太蔟為商，姑洗為角，林鍾為徵，南呂為羽，應鍾為變宮，蕤賓為變徵。此
聲氣之元，五音之正也。故各統一月，其餘以次運行。當月者各自為宮，而
商徵以類從焉。禮運篇曰：「五聲、六律、十二管還相為宮。」此之謂也。DF K2AhsVh
以六十律分期之日：黃鍾自冬至始，及冬至而復。陰陽寒燠，風雨之占生焉
。所以檢攝群音，考其高下；茍非革木之聲，則無不有所合。」 X GlY*V9V
T.h}G[
「竹聲不可以度調，故作準以定數。準之狀如瑟，長丈而十三絃；隱間
九尺，以應黃鍾之律九寸。中央一絃下有畫分寸，以為六十律清濁之節。」
「律術曰：陽以圓為形，其性動。陰以方為節，其性靜。動者數三；靜 l _ctY X"or
者數二。以陽生陰倍之，以陰生陽四之；皆三而一。陽生陰曰下生；陰生陽 M,U!H;r+wx m
曰上生。上生不得過黃鍾之濁；下生不得不及黃鍾之清。皆參天兩地、圓益
方覆、六耦承奇之道也。黃鍾律呂之首，而生十二律者也。其相生也，三分cL*Y C,rtV0L|f
而損益之。是故十二律之得十七萬七千一百四十七。是為黃鍾之實。」Xx)i?@N
c4O9Q8s(q-ak
如前置一算，以三九遍因之，得一萬九千六百八十三，為黃鍾一寸之積0e}Dj/H ?
分；即為一寸之法。即以三再因之，得一十七萬七千一百四十七，為黃鍾之I6J zHV Gb f3_)X
實。以寸法除之，得黃鍾之管長九寸。又以二乘而三約之，是謂下生林鍾之Qh k%GX7DTh3r
實。置黃鍾之實十七萬七千一百四十七。以二因之得三十五萬四千二百九十7g]m*i(?/dA(g)~n&I
四。以三除之，得一十一萬八千九十八。為林鍾之實。以寸法一萬九千六百
八十三除之，得林鍾之管長六寸。又以四乘而三約之，是謂上生太蔟之實。E%?@N@0D5P
置林鍾之實十一萬八千九十八。以四因之，得四十七萬二千三百九十二；以
三除之得十五萬七千四百六十四，為太蔟之實。以寸法一萬九千六百八十三
除之，得太蔟之管長八寸。自餘諸管上下相生，皆倣此。
i*W,v F.gF
「推此上下以定六十律之實。以九三之數萬九千六百八十三為法。實如
法於律為寸，於準為尺；於律為分，於準為寸。不盈者十之，所得為分；又tL K4cmAk Bi r K
不盈十之，所得為小分。以其餘正其強弱。」
子，黃鍾實十七萬七千一百四十七，律九寸。下生林鍾。5`r$nS"O%HW^
色育實十七萬六千七百七十六，律八寸九分(小分八，微強)，下生謙待3@@1p5_JDSq8rk
；執始實十七萬四千七百六十二，律八寸八分(小分七，太強)，下生去滅；5Z5nC` {H `3kQ0G w
丙盛實十七萬二千四百一十，律八寸七分(小分六，微弱)，下生安度；分動
實十七萬八十九，律八寸六分(小分四，微強)，下生歸嘉；質末實十六萬七
千八百，律八寸五分(小分二，半強)，下生否與。'c5z4p%X"Qi1X^
丑，大呂實十六萬五千八百八十八，律八寸四分(小分三，弱)，下生夷
則；分否實十六萬三千六百五十四，律八寸三分(小分一，少強)，下生解形-o6SP8H8H&D O
；凌陰實十六萬一千四百五十二，律八寸二分(小分一，弱)，下生去南；少!O(m:K1tkc o
出實十五萬九千二百八十，律八寸(小分九，強)，下生分積。'N"?7I J,o
寅，太蔟實十五萬七千四百六十四，律八寸，下生南呂；未知實十五萬
七千一百三十四，律七寸九分(小分八，強)，下生白呂；時息實十五萬五千BgF xc1Cr/h
三百四十四，律七寸八分(小分九，強)，下生結躬；屈齊實十五萬三千二百
五十四，律七寸七分(小分八，半強)，下生歸期；隨期實十五萬一千一百九
十一，律七寸六分(小分八，微強)，下生未卯；形晉實十四萬九千一百五十|7vZ d(Md8s"a~
六，律七寸五分(小分八，弱)，下生夷汗。"q4NO2s8?
卯，夾鍾實十四萬七千四百五十六，律七寸四分(小分九，微強)，下生
無射；開時實十四萬五千四百七十一，律七寸三分(小分九，微強)，下生閉
掩；族嘉實十四萬三千五百一十三，律七寸二分(小分九，微強)，下生鄰齊
；爭南實十四萬一千五百八十二，律七寸一分(小分九，強)，下生期保。
辰，姑洗實十三萬九千九百六十八，律七寸一分(小分一，微強)，下生
應鐘；南授實十三萬九千六百七十六，律七寸(小分九，半強)，下生分烏；PO4P+~)E C[$X,y
變虞實十三萬八千八十四，律七寸(小分一，半強)，下生遲內；路時實十三 H'_%t2oX X/X.K
萬六千二百二十五，律六寸九分(小分二，微強)，下生未育；形始實十三萬1Q0c Z3U"GR k9z(uX
四千三百九十二，律六寸八分(小分三，弱)，上生遲時；依行實十三萬二千
五百八十三，律六寸七分(小分三，半強)，上生色育。
巳，中呂實十三萬一千七十二，律六寸六分(小分六，微弱)，上生執始
；南中實十二萬九千三百八，律六寸五分(小分七，微弱)，上生丙盛；內負
實十二萬七千五百六十七，律六寸四分(小分八，微強)，上生分動；物應實
十二萬五千八百五十，律六寸三分(小分九，少強)，上生大呂。
午，賓實十二萬四千四百一十六，律六寸三分(小分二，微強)，上生大 z M B8a!C
呂；南事實十二萬四千一百五十六，律六寸三分(小分一，弱)，不生；盛變
實十二萬二千七百四十一，律六寸二分(小分三，半強)，上生分否；離宮實
十二萬一千八十九，律六寸一分(小分五，微強)，上生凌陰；制時實十一萬
九千四百六十，律六寸(小分七，微弱)，上生少出。
未，林鍾實十一萬八千九十八，律六寸，上生太蔟；謙待實十一萬七千
八百五十一，律五寸九分(小分九，弱)，上生未知；去滅實十一萬六千五百pE wS"LI)M:Gi([
八，律五寸九分(小分二，微弱)，上生時息；安度實十一萬四千九百四十，
律五寸八分(小分四，微弱)，上生屈齊；歸嘉實十一萬三千三百九十三，律4a)? ~'E7[8e1{
五寸七分(小分六，微強)，上生隨期；否與實十一萬一千八百六十七，律五
寸六分(小分八，少強)，上生形晉。
申，夷則實十一萬五百九十二，律五寸六分(小分二，弱)，上生夾鐘；w\,p)A/u_^8q7V
解形實十萬九千一百三，律五寸五分(小分四，強)，上生開時；去南實十萬
七千六百三十五，律五寸四分(小分六，太強)，上生族嘉；分積實十萬六千"c}`+y8C:u
一百八十六，律五寸三分(小分九，少強)，上生爭南。!q/\v*g9E%@2[ L
酉，南呂實十萬四千九百七十六，律五寸三分(小分三，強)，上生姑洗
；白呂實十萬四千七百五十七，律五寸三分(小分二，強)，上生南授；結躬
實十萬三千五百六十三，律五寸二分(小分六，微強)，上生變虞；歸期實十 T7O B[ I v
萬二千一百六十九，律五寸一分(小分九，微強)，上生路時；未卯實十萬七e9p.y-~h7^ J
百九十四，律五寸一分(小分二，微強)，上生形始；夷汗實九萬九千四百三
十七，律五寸(小分五，微強)，上生依行。1x:[U PkD
戍，無射實九萬八千三百四，律四寸九分(小分九，少強)，上生中呂；
閉掩實九萬六千九百八十一，律四寸九分(小分三，弱)，上生南中；鄰齊實r"[3oR5rP^\1C#L/|Y[-~
九萬五千六百七十五，律四寸八分(小分六，微強)，上生內負；期保實九萬Z$|j ? ?"lN
四千三百八十八，律四寸七分(小分九，半強)，上生物應。
亥，應鍾實九萬三千三百一十二，律四寸七分(小分四，微強)，上生蕤
賓；分烏實九萬三千一百一十七，律四寸七分(小分三，微強)，上生南事；
遲內實九萬二千五十六，律四寸六分(小分八，弱)，上生盛變；未育實九萬EY$P i7Lmr
八百一十七，律四寸六分(小分一，少強)，上生離宮；遲時實八萬九千五百bI"E1@6Y
九十五，律四寸五分(小分五，強)，上生制時。
j6v4TKk2Q7O
甄鸞按：剛柔殊節，清濁異倫。五音六律，理無相奪。隔八相生，又如 ef;g*b8`
合契。
ja ^ijIR Bg ~*~
按志序云：「上生不得過黃鍾之濁；下生不得不及黃鍾之清。」是則上 {-i'^?S[0z Ru vu
生不得過九寸；下生不得減四寸五分。且依行者，辰上之管也，長六寸七分
。上生色育。然則色育者，亥上之管也，長四寸四分，減黃鍾之清。其名仍
就下生之名；其算變取上生之實。乃越亥就子，編於黃鐘之下，律長八寸九"Q,v*{9W%[
分。非直名與實乖，抑亦違例隔凡。志又云：「始於黃鍾，終於南事。」注
云：「不生」；且南事，午上管也。計南事之律，次得上生八寸四分之管。
便是上生不過黃鍾之濁。乃注云：「不生」，此乃苟欲充六十之數。其於義 D7s,g$t vsj;b ?
理，未之前聞。(dI~*Xg9D|
~.J*w tP|
《禮記》投壺法：
i4F*u)E LG V
「壺頸脩七寸，腹脩五寸，口徑二寸半，容斗五升。」注云：「脩，長mDYM6H.w [
也。腹容斗五升，三分益一，則為二斗。得圓囷之象，積三百二十四寸。以
腹修五寸約之，所得求其圓周。圓周二尺七寸有奇，是為腹徑九寸有餘。」l }c `vyR4[9jy V-I0v p
甄鸞按：斛法一尺六寸二分，上十之得一千六百二十寸為一斛。積寸下Ov-m;B3o e2C D W
退一等，得一百六十二寸為一斗。積寸倍之，得三百二十四寸為二斗。積寸'^*It U-s4v2Aj!ciMR
以腹脩五寸約之，得六十四寸八分。乃以十二乘之，得七百七十七寸六分。y a I*]Bb V.a/L+Q*v
又以開方除之，得圓周二十七寸；餘四十八寸六分。倍二十七寸，得方法五/|^O\ H Y6I @$xg
十四。下法一從方法，得五十五。以三除二十七寸得九寸。又以三除不盡四
十八寸六分，得十六寸二分。與法俱上十之，是為壺腹徑九寸五百五十分寸 nP7m&d/x j,|
之一百六十二。母與子亦可俱半之，為二百七十五分寸之八十一。0Oi qD vI/g)V W
推春秋魯僖公五年正月辛亥朔法：zj J2_ [;x
經云：「僖公五年春王正月辛亥朔日南至。」南至，冬至也。冬至之日:?j3j l-] X
，南極至。故謂之日南至也。日中之時景最長。以景度之，知其南至。周官 y Ybh K ['xq
以土圭度日景，以求地中。夏至之日景尺有五寸。冬至之日，立八尺之木以}/YH-|d$e
為表。度而知之。「公既視朔，遂登觀台以望雲氣而書，禮也。凡分、至啟*w2?;G7^ F I p|"w
閉，必書雲物，為備故也。」
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推積日法： @ ]Udx~
置積月一萬一千九百八十五。以周天分二萬七千七百五十九乘之，得三
億三千二百六十九萬一千六百一十五，為朔積分。以日法九百四十除之，得/xc { ho*tL
三十五萬三千九百二十七為積日。不盡二百三十五為小餘。以六十除積日，0cs,M2K y;H
得五千八百九十八，棄之。取不盡四十七為大餘。命以甲子算外，即正月辛
亥朔。s }j"k!Sb5` d W D
求次月朔法：wP _2zin,q4J }J
置正月朔大、小餘，加朔大餘二十九、小餘四百九十九。若小餘滿日法kS9Gk/bus}&F
九百四十，除之；從大餘一。滿六十除之。命以甲子算外，即次月朔。如是hF6x;HyN
一加得一月朔。若小餘滿四百四十一以上，其月大，減者小也。
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推僖公五年正月辛亥朔旦冬至法：
3s}}3O*Z|
經云：「僖公五年春王正月辛亥朔日南至。」 BeN9o*x,k5^
TcK/nl h]}\m ^
求次氣法： r;v P'M+NB+c2l
h3N i2_Ztzn
加大餘十五，小分二十一。小分滿氣法二十四，從小餘一。小餘滿四，/WHR^,q$V/x
從大餘一。大餘滿六十，去之。命以甲子算外，次氣日。如是一加得一氣。
.}L7X\d\B5d-x
推文公元年歲在乙未，閏在十月下，而失在三月法：
{ w x"j V t
經云：「文公元年於是閏三月，非禮也。先王之正時也，屢端於始、舉 w F,H1pJ5Za(s
正於中、歸餘於終。屢端於始，序則不愆；舉正於中，則民不惑；歸餘於終b/J}9a(~`%Y
，則事不悖。」 J0n t6Q HHdc
推閏餘十三在何月法：
置章歲十九，以閏餘十三減之，不盡六。以歲中十二乘之，得七十二。,ff#^2L#\6a0{6V
以章閏七除之得十。命從正月起算外，閏十月下而盡。閏三月者，非也。 y"Gu I'G:a"T
推文公六年，歲在庚子，是歲無閏而置閏法：Z0qh$]8| b2x
經云：「文公六年，閏月不告朔，猶朝於廟。」傳曰：「閏月不告朔，@ h|G&S-v C t Y$O
非禮也。閏以正時，時以作事。民生之道於是乎在矣。不告閏朔，棄時正也#igb2NySZ@
，何以為民？」z'_;\$y'l1I t4P axe7A
推襄公二十七年，歲在乙卯，再失閏法：
|w:A/i,R%_ V w
襄公二十七年，歲在乙卯，九月乙亥朔，是建申之月也。魯史書：「十
二月乙亥朔，日有食之。」傳曰：「冬十一月乙亥朔，日有食之。於是辰在
申，司歷過也。再失閏矣。」言時實以為十一月也。不察其建，不考之於天
也。
Z0T7p3{L)TS B(x
推絳縣老人生經四百四十五甲子法：J'DW(|YZ V
襄公三十年，歲在戌午，二月癸未。注：「二月一日，丁卯朔。癸未十 l,W eQA)P6a
七日也。」「晉悼夫人食輿人之城杞者。絳縣人長矣，無子而往與於食。有
與疑年，使之年曰：「臣小人也，不知紀年。臣之歲，正月甲子朔，四百有
四十五甲子矣。其季於今三之一也。吏走問諸朝。師曠曰：「魯叔仲惠伯會
卻成子於城匡之歲也，七十三年矣。」史趙曰：「亥有二首六身。下二如身
，是其日數也。」士文伯曰：「然則二萬六千六百有六旬也。」」
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甄鸞按：「四百四十五甲子矣。其季於今三之一」者，計四百四十五甲
子矣，有二萬六千七百日。其季三之一者，謂不滿四百有四十五甲子。於未([ m%R mUG"X[
滿一甲子六十日之中，三分取一。謂去四十日，止留二十日也。是以注云：
「三分六甲之一得甲子、甲戌盡癸未。謂止有四百有四十四甲子，奇二十日
，合二萬六千六百六十日。以應史趙「亥有二首六身」之數也。
術曰：置積日二萬六千六百六十日。以四乘之，得十萬六千六百四十日#Kx,rt g0?h'U H
為實。又置周天三百六十五日四分日之一。以四乘之，內子一，得一千四百'ID$n)zzt wS_
六十一為一歲之日法以除實，得七十二歲。一千四百四十八，少十三分不滿#Z8PZ F)s4{7N!B }k F3F
法。計四分為一日，更少三日，不終季年。算法，半法以上收成一，為七十 a?5[Al^r+\
三年。據多而言也。 ? w'D3b"~Gm
zB8A-},I*Z
推文公十一年，歲在乙巳。夏正月甲子朔。絳縣老人生月法：
襄公三十年，絳縣人曰：「臣小人，不知紀年。臣生之歲，正月甲子朔
，四百四十五甲子矣。其季於今三之一也。」!`(? K,a7liDO
推積日法：
%e d tuis M+xlK"o'Je
置積月一萬二千四百六十七。以周天分二萬七千七百五十九乘之，得三
億四千六百七萬一千四百五十三為朔積分。以日法九百四十除之，得三十六6O `xLs"|~,T
萬八千一百六十一為積日；不盡一百一十三為小餘。以六十除積日，不盡為l8} ~ n#H8H.a
大餘。命以甲子算外，乙丑。推次月朔法，如前僖公五年中術。&r Y t6xf C[+e+]
推積日法：
置積月一萬三千六百一十七。以周天分二萬七千七百五十九乘之，得三
億七千七百九十九萬四千三百三為朔積分。以日法九百四十除之，得四十萬
二千一百二十一為積日。不盡五百六十三為小餘。以六十除積日得六千七百k3s5xG [ix)vvo`1F
二，棄之。不盡一為大餘。命以甲子算外，正月乙丑朔。{(x6\6f3|
4Z!q-l,zfI A c? \
推算魯昭公十九年，閏在十二月之後，就以閏月為正月，而以正月為二月的 WN U'jK4sJ$m!I
算法：
推昭公十九年，歲在戊寅，閏在十二月下法：%t R V9J)Y*z4V G1g
推昭公十九年，歲在戊寅月朔法：
k^} {8v m7q*O
推昭公二十年，歲在己卯月朔法：+H^'k"b_
正月大，己丑朔。大餘二十五，小餘四百七十。二月小，己未朔。大餘
五十五，小餘二十九。三月大，戊子朔。大餘二十四，小餘五百二十八。
d+x%O F:g f I5X
推昭公二十年，歲在己卯，正月己丑朔，旦冬至；而失云二月己丑冬至法：&r'jzPzQ L }0l.A
%gGD~A
甄鸞按：周曆昭公十九年，歲在戊寅。其年閏十二月。其月大，己未朔?:~4{3J3uL&D3w+[*e,v {
。二十年，歲在己卯。正月大，己丑朔。即以己丑朔，旦為冬至。而昭公十;q zD'B"H \p#|X}
九年，不置閏，乃以閏十二月為正月。故以為二月也。
推哀公十二年，歲在戊午。應置閏而不置，故書十二月有螽法：X8}+[5s5Y]
經云：「哀公十二年，冬十有二月螽」。季孫問諸仲尼。仲尼曰：「丘:O`F%r]a3v qKd
聞之，火伏而後蟄者畢。今火猶西流，司曆過也。」 CmqQ%m v
LO n4axJ kR
求十二年閏月法：rhd/]+R {
置章歲十九。以閏餘十四減之，不盡五。以歲中十二乘之，得六十。以
章閏七除之，得八。命從正月起算外，即在八月下。
甄鸞按：周十二月，夏之十月也。哀公十二年，閏在夏八月下。當時實
是夏之九月，而失以閏月為九月，以九月為十月。故書「冬十有二月螽」也[color=white]
。 g(V0R N\ y3e(N
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卷上〉xR1gLoA wZ.b*Q
6A P-U6dp(Ou#S
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#I } Q {_Q
《尚書》定閏法：
「帝曰：咨汝羲暨和，期三百有六旬六日。以閏月定四時成歲。」孔氏
注云：「咨，嗟；暨，與也。匝四時曰期。一歲十二月，月三十日，正三百
六十日。除小月六為六日，是為一歲。有餘十二日，未盈三歲足得一月，則,ZL&U7v!yO
置閏焉。以定四時之氣節，成一歲之曆象。」
甄鸞按：一歲之閏惟有十日九百四十分日之八百二十七。而云餘十二日I Qv%N"q
者，理則不然。何者？十九年七閏，今古之通軌。以十九年整得七閏，更無
餘分。故以十九年為一章。今若一年有餘十二日，則十九年二百二十八日。(E+^:y#?c:iY]
若七月皆小，則賸二十五日；若七月皆大，猶餘十八日。先推日月合宿，以
定一年之閏，則十九年七閏可知。
推日月合宿法：
置周天三百六十五度於上，四分度之一於下‧又置月行十三度十九分度
之七。除其日一度，餘十二度。以月分母十九乘十二度，積二百二十八；內0k I&y(]h"C7L|
子七得二百三十五為章月。以度分母四乘章月得九百四十日為法。又以四分
乘度三百六十五，內子一，得一千四百六十一。乃以月行分母十九乘之，得
二萬七千七百五十九為周天分。以日法九百四十除之，得二十九日，不盡四
百九十九。即是一月二十九日九百四十分日之四百九十九。與日合宿也。
求一年定閏法：
D.kL cnb q
置一年十二月。以二十九日乘之，得三百四十八日。又置十二月，以日 r/V*{K5c~[$Q
分子四百九十九乘之，得五千九百八十八。以日法九百四十除之，得六日。+A/fE V-b II ?
從上三百四十八日，得三百五十四日，餘三百四十八。以三百五十四減周天
三百六十五度，不盡十一日。又以餘分三百四十八減章月二百三十五。而章!Y9Cd!Fgyy(E
月少，不足減。上減一日，下加法九百四十分，得一千一百七十五。以實餘.N4Fx;T'BO2?
三百四十八乃減下法，餘八百二十七。是為一歲定閏十日九百四十分日之八Q5q{ se'h3Eb(\,K
百二十七。
yQM{,["I Nuz3a
求十九年七閏法：
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置一年閏十日，以十九年乘之得一百九十日。又以八百二十七分，以十
九年乘之得一萬五千七百一十三。以日法九百四十除之，得十六日，餘六百
七十三。以十六加上日，得二百六日。以二十九除之，得七月，餘三日。以$Rsp!C{)gG6o-c
法九百四十乘之，得二千八百二十。以前分六百七十三加之，得三千四百九
十三。以四百九十九命七月分之，適盡。是謂十九年得七閏月，月各二十九
日九百四十分日之四百九十九。]7x3~jA.Q?.W2q6q
] t_;Uh#b
《尚書》、《孝經》「兆民」注數越次法：8s+ZZ*EF;b+e
「天子曰兆民，諸侯曰萬民。」甄鸞按：呂刑云：「一人有慶，兆民賴
之」注云：「億萬曰兆。天子曰兆民，諸侯曰萬民。」又按周官：乃經土地-tL.L1v*\h*Y_ ~
而井，牧其田野。九夫為井，四井為邑，四邑為邱，四邱為甸，四甸為縣，
四縣為都。以任地事而令貢賦。凡稅斂之事，所以必共井者，存亡更守，入(h9f#y t _-Z@y i
出相同，嫁娶相媒，有無相貸，疾病相憂，緩急相救，以所有易以所無也。
兆民者，王畿方千里，自乘得兆井。王畿者，因井田立法，故曰兆民。若言
兆井之民也。如以九州地方千里者九言之，則是九兆，其數不越於兆也。諸 nC I y9s I,TF
侯曰萬民者，公地方百里，自乘得一萬井。故曰萬民。所以言侯者，諸侯之
通稱也。6D*}8z;aV o j+`
)}1[^ J I Nq sB:q
按注云：「億萬曰兆」者，理或未盡。何者？按黃帝為法，數有十等。
及其用也，乃有三焉。十等者，謂億、兆、京、垓、秭、壤、溝、澗、正、_s ^JY DV|
載也。三等者，謂上、中、下也。其下數者，十十變之。若言十萬曰億，十J Y a#Kf$\j
億曰兆，十兆曰京也。中數者，萬萬變之。若言萬萬曰億，萬萬億曰兆，萬jM#}w.B fx+g7V"C3R
萬兆曰京也。上數者，數窮則變。若言萬萬曰億，億億曰兆、兆兆曰京也。
若以下數言之，則十億曰兆；若以中數言之，則萬萬億曰兆；若以上數言之
，則億億曰兆。注乃云「億萬曰兆」者，正是萬億也。若從中數，其次則需
有十萬億、次百萬億、次千萬億、次萬萬億曰兆。三數並違，有所未詳。按Gj@#|gw;n
尚書無此注，故從孝經注釋之。3x5fv&?l;CF
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《詩》伐檀毛、鄭注不同法： EO f8S d yk y
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「不稼不穡，胡取禾三百億兮；不狩不獵，胡瞻爾庭，有縣特兮。」注7s R"@[NK%J
云：「萬萬曰億。獸三歲曰特。」箋云：「十萬曰億。三百億，禾秉之數也
。」;VN9B4\%v"_!G
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甄鸞按：黃帝為法，數有十等。及其用也，乃有三焉。十等者，謂億、B`K ?+|0v ]{V
兆、京、垓、秭、壤、溝、澗、正、載。三等者，謂上、中、下也。其下數k0?A Te P
者，十十變之。若言十萬曰億，十億曰兆，十兆曰京也。中數者，萬萬變之
。若言萬萬曰億，萬萬億曰兆，萬萬兆曰京也。上數者，數窮則變。若言萬
萬曰億，億億曰兆、兆兆曰京也。據此而言，鄭用下數，毛用中數矣。
)zl8g f4IF0k
《詩》豐年毛注數越次法：
#`,T O*`(ps
「豐年多黍多稌，亦有高廩，萬億及秭。」毛注云：「豐，大；稌，稻m)K|"ZE.y x+Z u
。廩所以藏齋盛之穗。數萬至萬曰億；數億至億曰秭。」箋云：「豐年，大
有之年。萬億及秭，以言穀數多也。」8^kKm iT(EKk
甄鸞按：毛注云數萬至萬曰億者，此即中數，萬萬曰億也。又云數億至4k} {'\#v na
億曰秭者，或有可疑。何者？按黃帝數術云：中數者，萬萬曰億，萬萬億曰
兆，萬萬兆曰京，萬萬京曰垓，萬萬垓曰秭。此應云數億至垓曰秭，而言數
億至億曰秭者，有所未詳。
《周易》策數法： y R'Ps!B8Z6q
J5yc(E&M+FX;|
「天地之數五十有五，此所以成變化而行鬼神也。乾之策二百一十有六
；坤之策百四十有四。凡三百有六十，當期之日。二篇之策，萬有一千五百
二十，當萬物之數也。是故四營而成易，十有八變而成卦；八卦而小成。引
而申之，觸類而長之，天下之能事畢矣。」(Yq4xa7{:?Fx!~
甄鸞按：天以一生水，地以二生火，天以三生木，地以四生金，天以五3no fl/k R&Y
生土。天數奇，二十五；地數耦，三十。并天地之數，合五十五，謂之大衍
之數。揲蓍得乾者，三十六策然後得九一爻。爻有三十六策。合二百一十六 u\%H pg
。揲蓍得坤者，二十四策然後得六一爻。爻有二十四策。合一百四十四。并
乾坤之策，三百六十。當一期之日者，舉全數也。上、下經有六十四卦，卦
有六爻，合三百八十四爻。陰陽各半，陽爻稱九，陰爻稱六。九、六各百九
十二也。陽爻以三十六策乘之，得六千九百一十二；陰爻以二十四乘之，得JiY)Z h'}qJ-]vf
四千六百八。并陰陽之策，合得一萬一千五百二十也。四營者，仰象天，俯
法地，近取諸身，遠取諸物也。十八變者，三變而成爻，十八變而六爻也。
八卦而小成者，言雖成易，猶未備也。3r x]8y!vy-_]
R:H%A*Q^ qB
《論語》「千乘之國」法：KM+c6|QY|)F(r
「子曰：『導千乘之國。…』」注云：「司馬法：六尺為步，步百為畝
，畝百為夫，夫三為屋，屋三為井，井十為通，通十為成，成出革車一乘。 X ~WN+T
然則千乘之賦，其地千成也。」今有千乘之國，其地千成，計積九十億步。r#z x"Ls
問為方幾何？#f%{9r @M"d7M T
K~*_&K@&DFR2j+O
答曰：三百一十六里六十八步一十八萬九千七百三十七分步之六萬二千
五百七十六。
X9R k N5E ^T
術曰：置積步為實，開方除之即得。N-Xx"r-oX } M
按千乘之國，其地千成。方十里，置一乘地十里，以三百步乘之，得三 O uT4^w.m
千步。重張相乘，得九百萬步。又以千成乘之，得積九十億步。以開方除之I u ^ K&hA#X!bA
，即得方數。
開方法曰：借一算為下法。步之常超一位，至萬而止。置上商九萬於實
之上。又置九億於實之下，下法之上，名曰方法。命上商九萬以除實畢。倍
方法九億得十八億。乃折之：方法一折，下法再折。又置上商四千於上，以v2F U ?5q3C
次前商之後。又置四百萬於方法之下，下法之上，名曰隅法。方、隅皆命上Aj oM&k
商四千以除實畢。倍隅法得八百萬。上從方法，得一億八千八百萬。乃折之
：方法一折，下法再折。又置上商八百於上，以次前商之後。又置八萬於方kP*a(lLJ~!m x
法之下，下法之上，名曰隅法。方、隅皆命上商八百以除實畢。倍隅法得十 O'a d2_1U\J
六萬。上從方法，得一千八百九十六萬。乃折之：方法一折，下法再折。又-r$z dS_ zc9n\ T
置上商六十於上，以次前商之後。又置上商六十於上，以次前商之後。又置
六百於方法之下，下法之上，名曰隅法。方、隅皆命上商六十以除實畢。倍.NL m$Nc _3Zd U"d i
隅法得一千二百。上從方法，得一百八十九萬七千二百。乃折之：方法一折.~)k K2}Wx
，下法再折。又置上商八於上，以次前商之後。又置八於方法之下，下法之
上，名曰隅法。方、隅皆命上商八以除實畢。倍隅法得一十六。上從方法， my F1t2C$c$B2`
下法一亦從之，得一十八萬九千七百三十七分步之六萬二千五百七十六。以
里法三百步除之，得三百一十六里。不盡六十八步。即得三百一十六里六十
八步一十八萬九千七百三十七分步之六萬二千五百七十六也。Q4E/i }tN&U6Y,s$C
;e,v,`3|,UG:Y YTH
周官車蓋法：
「參分弓長，以其一為尊。」注云：「尊，高也。六尺之弓，上部近平m N'hCU/l1I
者二尺。爪末下於部二尺。二尺為句，四尺為弦，求其股。股十二。開方除KiE9y Ft8NE W q_ a
之，面三尺幾半。」
甄鸞按：句股之法，橫者為句，直者為股，斜者為弦。若句三，則股四
而弦五。此自然之率也。今此車蓋，句二弦四則股三，此亦自然之率矣。求
之法，句、股各自乘，并而開方除之，即弦也。股自乘，以減弦自乘，其餘6r!g/K)Q$b)g&X T
開方除之，即句也。句自乘，以減弦自乘，其餘開方除之，即股也。假令句
三自乘得九，股四自乘得十六，并之得二十五，開方除之得五，弦也。股四
自乘得十六；弦五自乘得二十五，以十六減之，餘九。開方除之得三，句也
。句三自乘得九，弦五自乘得二十五，以九減之，餘十六。開方除之得四，
股也。今車蓋崇二尺，弓四尺。以崇下二尺為句，弓四尺為弦，為之求股。6l-Q%Y!e9M1^?~w
求股之法，句二尺自乘得四，弦四尺自乘得十六。以四減十六，餘十二。開E B/m:z/eE't8u"Y
方除之，得三，即股三尺也也。餘三，倍方法得六；又以下法一從之得七。
即股三尺七分尺之三。故曰幾半也。
7UP }!an,[n5? O
《儀禮》喪服絰帶法：
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「苴絰大搹，左本在下。去五分一以為帶。齊衰之絰，斬衰之帶也，去
五分一以為帶。大功之絰，齊衰之帶也，去五分一以為帶。小功之絰，大功
之帶也，去五分一以為帶。緦麻之絰，小功之帶也，去五分一以為帶。」注~6}!l/~ Bgo
云：「盈手曰搹。搹，扼也。中人之扼圍九寸。以五分一為殺者，象五服之O3N1S q;I'L
數。」今有五服衰絰，迭相差五分之一。其斬衰之絰九寸，問齊衰、大功、
小功、緦麻絰各幾何？%Y B g*@mw
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答曰：齊衰七寸五分寸之一、大功五寸二十五分寸之十九、小功四寸一;AnD#O)ze n%R'X
百二十五分寸之七十六、緦麻三寸六百二十五分寸之四百二十九。
甄鸞按：五分減一者，以四乘之，以五除之。置斬衰之絰九寸，以四乘
之得三十六為絰實；以五除之得齊衰之絰七寸五分寸之一。以母五乘七寸得 tT`(h E/EQ3?
三十五；內子一得三十六。以四乘之得一百四十四為實。以五乘下母五得二hp9j'E N,@M `
十五為法。除之得大功絰五寸二十五分寸之十九。以母二十五乘五寸得一百%[fi|G2G e W;F
二十五，內子十九，得一百四十四。以四乘之得五百七十六為實。以五乘下
母二十五得一百二十五為法。以除之，得小功絰四寸一百二十五分寸之七十W4Oe\t-i
六。以母一百二十五乘絰四寸，得五百。內子七十六，得五百七十六，又以
四乘之得二千三百四為實。以五乘下母一百二十五得六百二十五為法。以除jd}.j Ak t
之，得緦麻之絰三寸六百二十五分寸之四百二十九。
&l+V X iL'@V)F'Q
喪服制食米溢數法：
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「朝一溢米，夕一溢米。」注云：「二十兩曰溢，一溢為米一升二十四
分升之一。」
甄鸞按：一溢為米一升二十四分升之一法：置一斛米，重一百二十斤。
以十六乘之，為積一千九百二十兩。以溢法二十兩除之，得九十六溢為法。
以米一斛百升為實。實如法得一升。不盡四升，與法具再半之，名曰二十四)b(Q~+}wi:vX
分升之一。稱法：三十斤曰鈞，四鈞曰石。石有一百二十斤也。所以名斛為
石者，以其一斛米重一百二十斤故也。
《禮記》王制國及地法：
H[ m*|/r4EK i|
凡四海之內有九州。大界方三千里。三三而九，計方一千里者有九也。
今為里田之法，方一千里為廣一里，則長一百萬里也。分方一千里為畿內，-gPt GK
餘為八州。州各得方一千里。各以方里自乘為積里。諸國皆倣方一百里國三
十。一國萬里，三十國合三十萬里。方七十里國六十。一國四千九百里，六3E2E1I/dna
十國合二十九萬四千里。方五十里國一百二十。一國二千五百里，一百二十
國合三十萬里。上法一州有二百一十國，合地八十九萬四千里。以減一州之,O W3t'M&\9k
地大數一百萬里，餘一十萬六千里為閒田。此據一州而言。若八州則地七百RN0m x q1|F
一十五萬二千里，以減八州八百萬里，餘八十四萬八千里為閒田。
$A7Gb2} c5n i1w
畿內方百里國九。一國萬里，九國合九萬里。方七十里國二十一。一國Z Z3x/[-W%L3uj*S ?$k']
四千九百里，二十一國合十萬二千九百里。方五十里國六十三。一國二千五
百里，六十三國合十五萬七千五百里。上法畿內有九十三國，計地三十五萬(z`f y%j0F_
四百里。以減一百萬里，餘六十四萬九千六百里為閒田。以八州之地七百一
十五萬二千里，并畿內三十五萬四百里，九州之國合地七百五十萬二千四百+E z@a Y M\S:?
里。以減九州之地大數九百萬里，餘一百四十九萬七千六百里為閒田。此商
制也。
dq*@d^1~
鄭注云：「周公制禮，九州大界方七千里。七七四十九，即四千九百萬
里。計方一千里者，四十九也。」分方千里為畿內，餘為八州。州各得一千
里者六。一州合地六百萬里。方五百里國四。一國二十五萬里，四國合一百
萬里。方四百里國六。一國十六萬里，六國合九十六萬里。方三百里國十一
。一國九萬里，十一國合九十九萬里。方二百里國二十五。一國四萬里，二4d)fWDH|sdK[
十五國合一百萬里。方一百里國一百六十四。一國一萬里，一百六十四國合
一百六十四萬里。上法，一州二百一十國，計地五百五十九萬里。以減一州9A&k+^y u a L-G
之地大數六百萬里，餘四十一萬里，為附庸閒田。ZmpQv
NP p0h Y3t)u;j
按《周禮》據千里為法，則公國四，侯國六，伯國十一，子國二十五，1s6O;H?N
男國一百六十四。合二百一十國者，非周之數矣。據地方一千里為地一百萬
里。五國合為地五百萬里。方百里者五十九。方百里為地一萬里。五十九國
合為地五十九萬里。上二法，計得地五百五十九萬里。容前二百一十國，餘_0g0o,I ^{:} M P E;V
方百里者四十一。方百里為地一萬里；百里之國四十一，為地四十一萬里。
上據地以下三法，合地六百萬里。一州之大數。
「古者以周尺八尺為步，今以周尺六尺四寸為步。古者百畝當今東田百 H rG t\R*h gY.i
四十六畝三十步。古者百里當今百二十一里六十步四尺二寸二分。」注云：i$h fE_!{
「周尺之數，未之詳聞。按禮制，周猶以十寸為尺。蓋六國時多變亂法度。/z/HD/C"K R q,V3],K
或言周尺八寸，則步更為八八六十四寸。以此計之，古者百畝當今百五十六
畝二十五步。古者百里當今百二十五里也。」
甄鸞按：「古者以周尺八尺為步，今以周尺六尺四寸為步。古者一百畝 }m i5q Ba3xo
當今東田一百四十六畝三十步。」計之法：置古步八尺，以八寸乘之為六十6L _,vK/U:oN
四寸。自相乘得四千九十六寸為古步法。又置今步六尺，以八寸乘之，內四 E"r,Ar"E[
寸，得五十二寸。自相乘得二千七百四寸為今步法。置田一百畝，以百步乘2g1W5ry1|+O
之得一萬步。以古步法乘之，得四千九十六萬寸為實。以今步法二千七百四
寸除之，得一萬五千一百四十七步。不盡二千五百一十二寸，約之得一百六!k1s9R l*z'D)|"A
十九分步之一百五十七。以畝法一百步除積步，得一百五十一畝，餘四十七4Q vs1awpE
步及分。以經中東田一百四十六畝三十步減之，計賸五畝一十七步及分。此
即經自不合。"B;C/L/\-p9[J
m#i q cQX1\R/T7r*X
求經云：「古者百里當今一百二十二十一里六十步四尺二寸二分」法：
置百里，以三百步乘之，得三萬步。以古一步六十四寸乘之，得一百九十二"G^ q_:f x1K
萬寸。以今步法五十二寸除之，得三萬六千九百二十三步，餘四寸。以里法
三百步除積步，得一百二十三里，不盡二十三步四寸。以經中一百二十一里
六十步四尺二寸二分減之，計賸一里二百六十二步一尺三寸八分。亦經自不d&S @5oq b8w
合。#l i zC*{]:\!z s0J2G
求鄭氏注云：「古者百畝當今一百五十六畝二十五步。」依鄭計之法：
置經中古者八十寸，今六十四寸相約。古步率得五，今步率得四。古步率五
自乘得二十五為古步法；今步率四自乘得十六為今步法。置田一百畝為一萬 nDa \G D
步。以古步法二十五乘之得二十五萬。以今步法十六除之得一萬五千六百二e1_~C:G q-o#[
十五步。以畝法一百步除之，得一百五十六畝，不盡二十五步。
GU)toY]
求鄭注云：「古者百里當今一百二十五里」法：置一百里，以三百步乘
之，得三萬步。以古步率五乘之，得一十五萬為實。以今步率四乘里法三百
步，得一千二百為法。實如法而一，得一百二十五里。按經自不合；鄭注又 d S c m&@ h
不與經同。未詳所以。
eC!v d"J/Q'V
Wcd5M9u#G)fq v
〈卷下〉
{&G0`r'x:w U3\)[#Uo r6`
,?])H;@#_v-k
《禮記》月令黃鍾律管法：9mny,g t l og
Y U:iSY_q j
黃鍾術曰：置一算，以三九遍因之為法。置一算，以三因之得三，又三
因之得九，又三因之得二十七，又三因之得八十一，又三因之得二百四十三
，又三因之得七百二十九，又三因之得二千一百八十七，又三因之得六千五QK2^STe@Z$e
百六十一，又三因之得一萬九千六百八十三為法。即是黃鍾一寸之積分。重
張其位於上，以三再因之，為黃鍾之實。以法除之，得黃鍾，十一月，管長
九寸。A H7rc?0um
置黃鍾一寸積分一萬九千六百八十三。以三因之得五萬九千四十九。又
置五萬九千四十九。以三因之得十七萬七千一百四十七，為黃鍾實。以寸法 o j SKfM E
一萬九千六百八十三除實，得黃鍾之管長九寸。
x)C2yS$c R
黃鍾下生林鍾，六月，管長六寸。置黃鍾管長九寸。以二乘之得十八，Y,{u$vitc c-Hs
以三除之得林鍾管長六寸。Q y0J"DM
林鍾上生太蔟，正月，管長八寸。置林鍾管長六寸。以四乘之，得二十
四。以三除之，得太蔟管長八寸。
Db:ZIhifgJ
太蔟下生南呂，八月，管長五寸三分寸之一。置太蔟之管八寸。以二乘
之得十六；以三除之，得南呂之管長五寸三分寸之一。
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南呂上生姑洗，三月，管長七寸九分寸之一。置南呂管長五寸。以分母n;]@`7q
三乘之，內子一得十六。以四乘之，得六十四。以三乘法三得九為法以除之
，得姑洗之管長七寸九分寸之一。
姑洗下生應鍾，十月，管長四寸二十七分寸之二十。置姑洗管長七寸。
以分母九乘之，內子一得六十四。以二乘之得一百二十八。以分母九乘法三
得二十七為法以除之，得應鍾之管長四寸二十七分寸之二十。 r'Dn)ph2e u
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應鍾上生蕤賓，五月，管長六寸八十一分寸之二十六。置應鍾管長四寸A+H9p3oV Q&Oa
。以分母二十七乘之，內子二十得一百二十八。以四乘之，得五百一十二。
以分母二十七乘法三得八十一為法。除之得蕤賓管長六寸八十一分寸之二十
六。5w-O(d Uy.g&m d4A4q]
蕤賓上生大呂，十二月，管長八寸二百四十三分寸之一百四。置蕤賓管-I"j @8I:f1LO
長六寸。以分母八十一乘之，內子二十六得五百一十二。以四乘之得二千四
十八為實。以分母八十一乘法三得二百四十三為法。除之得大呂之管長八寸
二百四十三分寸之一百四。y^,ee.MY
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大呂下生夷則，七月，管長五寸七百二十九分寸之四百五十一。置大呂
管長八寸。以分母二百四十三乘之，內子一百四得二千四十八。以二乘之，-S\h0z [y@W8O}f
得四千九十六為實。以分母二百四十三乘法三得七百二十九為法。除之得夷
則管長五寸七百二十九分寸之四百五十一。"F I{/p&[3I2@
夷則上生夾鍾，二月，管長七寸二千一百八十七分寸之一千七十五。置
夷則管長五寸。以分母七百二十九乘之，內子四百五十一得四千九十六。以
四乘之得一萬六千三百八十四為實。以分母七百二十九乘法三得二千一百八
十七為法。除之得夾鍾管長七寸二千一百八十七分寸之一千七十五。
夾鍾下生無射，九月，管長四寸六千五百六十一分寸之六千五百二十四
。置夾鍾管長七寸。以分母二千一百八十七乘之，內子一千七十五得一萬六 vX \ FW
千三百八十四。以二乘之，得三萬二千七百六十八為實。以分母二千一百八N3o)Fi Dq2UK Y
十七乘法三得六千五百六十一為法。除之得無射管長四寸六千五百六十一分[`h d*~2a}
寸之六千五百二十四。Hq!uFzE
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無射上生中呂，四月，管長六寸一萬九千六百八十三分寸之一萬二千九&J:q c-W fA!SB
百七十四。置無射管長四寸。以分母六千五百六十一乘之，內子六千五百二e o7db D#z.su
十四得三萬二千七百六十八。以四乘之得十三萬一千七十二為實。以分母六[-B p9e*I h X*Z$R
千五百六十一乘法三得一萬九千六百八十三為法。除之得中呂之管長六寸一uk+A/nv(x&pI
萬九千六百八十三分寸之一萬二千九百七十四。 K\^^/i6f? `
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《禮記》禮運注始於黃鍾終於南呂法：
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「五行之動迭相竭。五行、四時、十二月還相為本。五聲、六律、十二^;G-h ~V,pk
管還相為宮。五味六和、十二食還相為滑。五色、六章、十二衣還相為質。
」注云：「竭猶負載也。言五行運轉，更相為始。五聲宮、商、角、徵、羽
。其管陽曰律；陰曰呂。布在十二辰，始於黃鍾九寸。下生者三分去一；上z@ }%T? Z+]
生者三分益一，終於南呂。更相為宮，凡六十律。」
4[6ty w'Z i9Sj
甄鸞按：五聲、六律、十二管還相為宮，終於南呂：
黃鍾為宮，林鍾為徵，太蔟為商，南呂為羽，姑洗為角；
林鍾為宮，太蔟為徵，南呂為商，姑洗為羽，應鍾為角；
太蔟為宮，南呂為徵，姑洗為商，應鍾為羽，蕤賓為角；A)k8S2ovO3Q
南呂為宮，姑洗為徵，應鍾為商，蕤賓為羽，大呂為角；
姑洗為宮，應鍾為徵，蕤賓為商，大呂為羽，夷則為角；3k6Q`+}xc3Zf,]
應鍾為宮，蕤賓為徵，大呂為商，夷則為羽，夾鍾為角；
蕤賓為宮，大呂為徵，夷則為商，夾鍾為羽，無射為角；
大呂為宮，夷則為徵，夾鍾為商，無射為羽，中呂為角；J{b!n-tDW'Xj2F
夷則為宮，夾鍾為徵，無射為商，中呂為羽，黃鍾為角；
夾鍾為宮，無射為徵，中呂為商，黃鍾為羽，林鍾為角；
無射為宮，中呂為徵，黃鍾為商，林鍾為羽，太蔟為角；8xm5q3Rw(M
中呂為宮，黃鍾為徵，林鍾為商，太蔟為羽，南呂為角；5v'T%`1y0LY
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甄鸞按：《禮記》注一本乃有云：「始於黃鍾，終於南事」者，更顯之O N.R,dO p^2S1?
於後。
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禮運一本注「始於黃鍾，終於南事」法：
甄鸞按：司馬彪律曆志：
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黃鍾下生林鍾，林鍾上生太蔟，太蔟下生南呂，南呂上生姑洗，姑洗下.j"d:w3Y zSO G5n
生應鍾，應鍾上生蕤賓，蕤賓上生大呂，大呂下生夷則，夷則上生夾鍾，夾
鍾下生無射，無射上生中呂，中呂上生執始，執始下生去滅，去滅上生時息
，時息下生結躬，結躬上生變虞，變虞下生遲內，遲內上生盛變，盛變上生
分否，分否下生解形，解形上生開時，開時下生閉掩，閉掩上生南中，南中
上生丙盛，丙盛下生安度，安度上生屈齊，屈齊下生歸期，歸期上生路時，
路時下生未育，未育上生離宮，離宮上生凌陰，離宮下生去南，去南上生族R)V'U*IUT_K
嘉，族嘉下生鄰齊，鄰齊上生內負，內負上生分動，分動下生歸嘉，歸嘉上 i2XOd.f Wb:}
生隨期，隨期下生未卯，未卯上生形始，形始下生遲時，遲時上生制時，制
時上生少出，少出下生分積，分積上生爭南，爭南下生期保，期保上生物應
，物應上生質末，質末下生否與，否與上生形晉，形晉下生夷汗，夷汗上生
依行，依行上生色育，色育下生謙待，謙待上生未知，未知下生白呂，白呂.G ?/Dg;l D$a!\+uZh D
上生南授，南授下生分烏，分烏上生南事，南事不生。
甄鸞按：司馬彪志序云：「漢興，北平侯張蒼首治律曆。孝武正樂，置 Q+Z \%Hj \
協律之官。至元始中，博徵通知鍾律者，考其意義。劉歆典領條奏。前史班a3ixC'yvY1I3X
固取以為志。而元帝時，郎中京房之五聲之音，六律之數。上使太子太傅元FRy"_"] k
成、諫議大夫章雜試問房於樂府。房對：受學故小黃令焦延壽。六十律相生`T Ca*O \Sy
之法：以上生下皆三生二；以下生上皆三生四。陽下生陰；陰上生陽。始於hLLq3ufX#p F7P
黃鍾；終於中呂，而十二律畢矣。夫十二律之變至於六十，猶八卦之變至於 } ~ ]6I4P#a
六十四也。宓羲作易，紀陽氣之初，以為律法建日冬至之聲。以黃鍾為宮，
太蔟為商，姑洗為角，林鍾為徵，南呂為羽，應鍾為變宮，蕤賓為變徵。此
聲氣之元，五音之正也。故各統一月，其餘以次運行。當月者各自為宮，而
商徵以類從焉。禮運篇曰：「五聲、六律、十二管還相為宮。」此之謂也。DF K2AhsVh
以六十律分期之日：黃鍾自冬至始，及冬至而復。陰陽寒燠，風雨之占生焉
。所以檢攝群音，考其高下；茍非革木之聲，則無不有所合。」 X GlY*V9V
T.h}G[
「竹聲不可以度調，故作準以定數。準之狀如瑟，長丈而十三絃；隱間
九尺，以應黃鍾之律九寸。中央一絃下有畫分寸，以為六十律清濁之節。」
「律術曰：陽以圓為形，其性動。陰以方為節，其性靜。動者數三；靜 l _ctY X"or
者數二。以陽生陰倍之，以陰生陽四之；皆三而一。陽生陰曰下生；陰生陽 M,U!H;r+wx m
曰上生。上生不得過黃鍾之濁；下生不得不及黃鍾之清。皆參天兩地、圓益
方覆、六耦承奇之道也。黃鍾律呂之首，而生十二律者也。其相生也，三分cL*Y C,rtV0L|f
而損益之。是故十二律之得十七萬七千一百四十七。是為黃鍾之實。」Xx)i?@N
c4O9Q8s(q-ak
如前置一算，以三九遍因之，得一萬九千六百八十三，為黃鍾一寸之積0e}Dj/H ?
分；即為一寸之法。即以三再因之，得一十七萬七千一百四十七，為黃鍾之I6J zHV Gb f3_)X
實。以寸法除之，得黃鍾之管長九寸。又以二乘而三約之，是謂下生林鍾之Qh k%GX7DTh3r
實。置黃鍾之實十七萬七千一百四十七。以二因之得三十五萬四千二百九十7g]m*i(?/dA(g)~n&I
四。以三除之，得一十一萬八千九十八。為林鍾之實。以寸法一萬九千六百
八十三除之，得林鍾之管長六寸。又以四乘而三約之，是謂上生太蔟之實。E%?@N@0D5P
置林鍾之實十一萬八千九十八。以四因之，得四十七萬二千三百九十二；以
三除之得十五萬七千四百六十四，為太蔟之實。以寸法一萬九千六百八十三
除之，得太蔟之管長八寸。自餘諸管上下相生，皆倣此。
i*W,v F.gF
「推此上下以定六十律之實。以九三之數萬九千六百八十三為法。實如
法於律為寸，於準為尺；於律為分，於準為寸。不盈者十之，所得為分；又tL K4cmAk Bi r K
不盈十之，所得為小分。以其餘正其強弱。」
子，黃鍾實十七萬七千一百四十七，律九寸。下生林鍾。5`r$nS"O%HW^
色育實十七萬六千七百七十六，律八寸九分(小分八，微強)，下生謙待3@@1p5_JDSq8rk
；執始實十七萬四千七百六十二，律八寸八分(小分七，太強)，下生去滅；5Z5nC` {H `3kQ0G w
丙盛實十七萬二千四百一十，律八寸七分(小分六，微弱)，下生安度；分動
實十七萬八十九，律八寸六分(小分四，微強)，下生歸嘉；質末實十六萬七
千八百，律八寸五分(小分二，半強)，下生否與。'c5z4p%X"Qi1X^
丑，大呂實十六萬五千八百八十八，律八寸四分(小分三，弱)，下生夷
則；分否實十六萬三千六百五十四，律八寸三分(小分一，少強)，下生解形-o6SP8H8H&D O
；凌陰實十六萬一千四百五十二，律八寸二分(小分一，弱)，下生去南；少!O(m:K1tkc o
出實十五萬九千二百八十，律八寸(小分九，強)，下生分積。'N"?7I J,o
寅，太蔟實十五萬七千四百六十四，律八寸，下生南呂；未知實十五萬
七千一百三十四，律七寸九分(小分八，強)，下生白呂；時息實十五萬五千BgF xc1Cr/h
三百四十四，律七寸八分(小分九，強)，下生結躬；屈齊實十五萬三千二百
五十四，律七寸七分(小分八，半強)，下生歸期；隨期實十五萬一千一百九
十一，律七寸六分(小分八，微強)，下生未卯；形晉實十四萬九千一百五十|7vZ d(Md8s"a~
六，律七寸五分(小分八，弱)，下生夷汗。"q4NO2s8?
卯，夾鍾實十四萬七千四百五十六，律七寸四分(小分九，微強)，下生
無射；開時實十四萬五千四百七十一，律七寸三分(小分九，微強)，下生閉
掩；族嘉實十四萬三千五百一十三，律七寸二分(小分九，微強)，下生鄰齊
；爭南實十四萬一千五百八十二，律七寸一分(小分九，強)，下生期保。
辰，姑洗實十三萬九千九百六十八，律七寸一分(小分一，微強)，下生
應鐘；南授實十三萬九千六百七十六，律七寸(小分九，半強)，下生分烏；PO4P+~)E C[$X,y
變虞實十三萬八千八十四，律七寸(小分一，半強)，下生遲內；路時實十三 H'_%t2oX X/X.K
萬六千二百二十五，律六寸九分(小分二，微強)，下生未育；形始實十三萬1Q0c Z3U"GR k9z(uX
四千三百九十二，律六寸八分(小分三，弱)，上生遲時；依行實十三萬二千
五百八十三，律六寸七分(小分三，半強)，上生色育。
巳，中呂實十三萬一千七十二，律六寸六分(小分六，微弱)，上生執始
；南中實十二萬九千三百八，律六寸五分(小分七，微弱)，上生丙盛；內負
實十二萬七千五百六十七，律六寸四分(小分八，微強)，上生分動；物應實
十二萬五千八百五十，律六寸三分(小分九，少強)，上生大呂。
午，賓實十二萬四千四百一十六，律六寸三分(小分二，微強)，上生大 z M B8a!C
呂；南事實十二萬四千一百五十六，律六寸三分(小分一，弱)，不生；盛變
實十二萬二千七百四十一，律六寸二分(小分三，半強)，上生分否；離宮實
十二萬一千八十九，律六寸一分(小分五，微強)，上生凌陰；制時實十一萬
九千四百六十，律六寸(小分七，微弱)，上生少出。
未，林鍾實十一萬八千九十八，律六寸，上生太蔟；謙待實十一萬七千
八百五十一，律五寸九分(小分九，弱)，上生未知；去滅實十一萬六千五百pE wS"LI)M:Gi([
八，律五寸九分(小分二，微弱)，上生時息；安度實十一萬四千九百四十，
律五寸八分(小分四，微弱)，上生屈齊；歸嘉實十一萬三千三百九十三，律4a)? ~'E7[8e1{
五寸七分(小分六，微強)，上生隨期；否與實十一萬一千八百六十七，律五
寸六分(小分八，少強)，上生形晉。
申，夷則實十一萬五百九十二，律五寸六分(小分二，弱)，上生夾鐘；w\,p)A/u_^8q7V
解形實十萬九千一百三，律五寸五分(小分四，強)，上生開時；去南實十萬
七千六百三十五，律五寸四分(小分六，太強)，上生族嘉；分積實十萬六千"c}`+y8C:u
一百八十六，律五寸三分(小分九，少強)，上生爭南。!q/\v*g9E%@2[ L
酉，南呂實十萬四千九百七十六，律五寸三分(小分三，強)，上生姑洗
；白呂實十萬四千七百五十七，律五寸三分(小分二，強)，上生南授；結躬
實十萬三千五百六十三，律五寸二分(小分六，微強)，上生變虞；歸期實十 T7O B[ I v
萬二千一百六十九，律五寸一分(小分九，微強)，上生路時；未卯實十萬七e9p.y-~h7^ J
百九十四，律五寸一分(小分二，微強)，上生形始；夷汗實九萬九千四百三
十七，律五寸(小分五，微強)，上生依行。1x:[U PkD
戍，無射實九萬八千三百四，律四寸九分(小分九，少強)，上生中呂；
閉掩實九萬六千九百八十一，律四寸九分(小分三，弱)，上生南中；鄰齊實r"[3oR5rP^\1C#L/|Y[-~
九萬五千六百七十五，律四寸八分(小分六，微強)，上生內負；期保實九萬Z$|j ? ?"lN
四千三百八十八，律四寸七分(小分九，半強)，上生物應。
亥，應鍾實九萬三千三百一十二，律四寸七分(小分四，微強)，上生蕤
賓；分烏實九萬三千一百一十七，律四寸七分(小分三，微強)，上生南事；
遲內實九萬二千五十六，律四寸六分(小分八，弱)，上生盛變；未育實九萬EY$P i7Lmr
八百一十七，律四寸六分(小分一，少強)，上生離宮；遲時實八萬九千五百bI"E1@6Y
九十五，律四寸五分(小分五，強)，上生制時。
j6v4TKk2Q7O
甄鸞按：剛柔殊節，清濁異倫。五音六律，理無相奪。隔八相生，又如 ef;g*b8`
合契。
ja ^ijIR Bg ~*~
按志序云：「上生不得過黃鍾之濁；下生不得不及黃鍾之清。」是則上 {-i'^?S[0z Ru vu
生不得過九寸；下生不得減四寸五分。且依行者，辰上之管也，長六寸七分
。上生色育。然則色育者，亥上之管也，長四寸四分，減黃鍾之清。其名仍
就下生之名；其算變取上生之實。乃越亥就子，編於黃鐘之下，律長八寸九"Q,v*{9W%[
分。非直名與實乖，抑亦違例隔凡。志又云：「始於黃鍾，終於南事。」注
云：「不生」；且南事，午上管也。計南事之律，次得上生八寸四分之管。
便是上生不過黃鍾之濁。乃注云：「不生」，此乃苟欲充六十之數。其於義 D7s,g$t vsj;b ?
理，未之前聞。(dI~*Xg9D|
~.J*w tP|
《禮記》投壺法：
i4F*u)E LG V
「壺頸脩七寸，腹脩五寸，口徑二寸半，容斗五升。」注云：「脩，長mDYM6H.w [
也。腹容斗五升，三分益一，則為二斗。得圓囷之象，積三百二十四寸。以
腹修五寸約之，所得求其圓周。圓周二尺七寸有奇，是為腹徑九寸有餘。」l }c `vyR4[9jy V-I0v p
甄鸞按：斛法一尺六寸二分，上十之得一千六百二十寸為一斛。積寸下Ov-m;B3o e2C D W
退一等，得一百六十二寸為一斗。積寸倍之，得三百二十四寸為二斗。積寸'^*It U-s4v2Aj!ciMR
以腹脩五寸約之，得六十四寸八分。乃以十二乘之，得七百七十七寸六分。y a I*]Bb V.a/L+Q*v
又以開方除之，得圓周二十七寸；餘四十八寸六分。倍二十七寸，得方法五/|^O\ H Y6I @$xg
十四。下法一從方法，得五十五。以三除二十七寸得九寸。又以三除不盡四
十八寸六分，得十六寸二分。與法俱上十之，是為壺腹徑九寸五百五十分寸 nP7m&d/x j,|
之一百六十二。母與子亦可俱半之，為二百七十五分寸之八十一。0Oi qD vI/g)V W
推春秋魯僖公五年正月辛亥朔法：zj J2_ [;x
經云：「僖公五年春王正月辛亥朔日南至。」南至，冬至也。冬至之日:?j3j l-] X
，南極至。故謂之日南至也。日中之時景最長。以景度之，知其南至。周官 y Ybh K ['xq
以土圭度日景，以求地中。夏至之日景尺有五寸。冬至之日，立八尺之木以}/YH-|d$e
為表。度而知之。「公既視朔，遂登觀台以望雲氣而書，禮也。凡分、至啟*w2?;G7^ F I p|"w
閉，必書雲物，為備故也。」
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推積日法： @ ]Udx~
置積月一萬一千九百八十五。以周天分二萬七千七百五十九乘之，得三
億三千二百六十九萬一千六百一十五，為朔積分。以日法九百四十除之，得/xc { ho*tL
三十五萬三千九百二十七為積日。不盡二百三十五為小餘。以六十除積日，0cs,M2K y;H
得五千八百九十八，棄之。取不盡四十七為大餘。命以甲子算外，即正月辛
亥朔。s }j"k!Sb5` d W D
求次月朔法：wP _2zin,q4J }J
置正月朔大、小餘，加朔大餘二十九、小餘四百九十九。若小餘滿日法kS9Gk/bus}&F
九百四十，除之；從大餘一。滿六十除之。命以甲子算外，即次月朔。如是hF6x;HyN
一加得一月朔。若小餘滿四百四十一以上，其月大，減者小也。
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推僖公五年正月辛亥朔旦冬至法：
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經云：「僖公五年春王正月辛亥朔日南至。」 BeN9o*x,k5^
TcK/nl h]}\m ^
求次氣法： r;v P'M+NB+c2l
h3N i2_Ztzn
加大餘十五，小分二十一。小分滿氣法二十四，從小餘一。小餘滿四，/WHR^,q$V/x
從大餘一。大餘滿六十，去之。命以甲子算外，次氣日。如是一加得一氣。
.}L7X\d\B5d-x
推文公元年歲在乙未，閏在十月下，而失在三月法：
{ w x"j V t
經云：「文公元年於是閏三月，非禮也。先王之正時也，屢端於始、舉 w F,H1pJ5Za(s
正於中、歸餘於終。屢端於始，序則不愆；舉正於中，則民不惑；歸餘於終b/J}9a(~`%Y
，則事不悖。」 J0n t6Q HHdc
推閏餘十三在何月法：
置章歲十九，以閏餘十三減之，不盡六。以歲中十二乘之，得七十二。,ff#^2L#\6a0{6V
以章閏七除之得十。命從正月起算外，閏十月下而盡。閏三月者，非也。 y"Gu I'G:a"T
推文公六年，歲在庚子，是歲無閏而置閏法：Z0qh$]8| b2x
經云：「文公六年，閏月不告朔，猶朝於廟。」傳曰：「閏月不告朔，@ h|G&S-v C t Y$O
非禮也。閏以正時，時以作事。民生之道於是乎在矣。不告閏朔，棄時正也#igb2NySZ@
，何以為民？」z'_;\$y'l1I t4P axe7A
推襄公二十七年，歲在乙卯，再失閏法：
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襄公二十七年，歲在乙卯，九月乙亥朔，是建申之月也。魯史書：「十
二月乙亥朔，日有食之。」傳曰：「冬十一月乙亥朔，日有食之。於是辰在
申，司歷過也。再失閏矣。」言時實以為十一月也。不察其建，不考之於天
也。
Z0T7p3{L)TS B(x
推絳縣老人生經四百四十五甲子法：J'DW(|YZ V
襄公三十年，歲在戌午，二月癸未。注：「二月一日，丁卯朔。癸未十 l,W eQA)P6a
七日也。」「晉悼夫人食輿人之城杞者。絳縣人長矣，無子而往與於食。有
與疑年，使之年曰：「臣小人也，不知紀年。臣之歲，正月甲子朔，四百有
四十五甲子矣。其季於今三之一也。吏走問諸朝。師曠曰：「魯叔仲惠伯會
卻成子於城匡之歲也，七十三年矣。」史趙曰：「亥有二首六身。下二如身
，是其日數也。」士文伯曰：「然則二萬六千六百有六旬也。」」
o Ba`1jI P1A
甄鸞按：「四百四十五甲子矣。其季於今三之一」者，計四百四十五甲
子矣，有二萬六千七百日。其季三之一者，謂不滿四百有四十五甲子。於未([ m%R mUG"X[
滿一甲子六十日之中，三分取一。謂去四十日，止留二十日也。是以注云：
「三分六甲之一得甲子、甲戌盡癸未。謂止有四百有四十四甲子，奇二十日
，合二萬六千六百六十日。以應史趙「亥有二首六身」之數也。
術曰：置積日二萬六千六百六十日。以四乘之，得十萬六千六百四十日#Kx,rt g0?h'U H
為實。又置周天三百六十五日四分日之一。以四乘之，內子一，得一千四百'ID$n)zzt wS_
六十一為一歲之日法以除實，得七十二歲。一千四百四十八，少十三分不滿#Z8PZ F)s4{7N!B }k F3F
法。計四分為一日，更少三日，不終季年。算法，半法以上收成一，為七十 a?5[Al^r+\
三年。據多而言也。 ? w'D3b"~Gm
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推文公十一年，歲在乙巳。夏正月甲子朔。絳縣老人生月法：
襄公三十年，絳縣人曰：「臣小人，不知紀年。臣生之歲，正月甲子朔
，四百四十五甲子矣。其季於今三之一也。」!`(? K,a7liDO
推積日法：
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置積月一萬二千四百六十七。以周天分二萬七千七百五十九乘之，得三
億四千六百七萬一千四百五十三為朔積分。以日法九百四十除之，得三十六6O `xLs"|~,T
萬八千一百六十一為積日；不盡一百一十三為小餘。以六十除積日，不盡為l8} ~ n#H8H.a
大餘。命以甲子算外，乙丑。推次月朔法，如前僖公五年中術。&r Y t6xf C[+e+]
推積日法：
置積月一萬三千六百一十七。以周天分二萬七千七百五十九乘之，得三
億七千七百九十九萬四千三百三為朔積分。以日法九百四十除之，得四十萬
二千一百二十一為積日。不盡五百六十三為小餘。以六十除積日得六千七百k3s5xG [ix)vvo`1F
二，棄之。不盡一為大餘。命以甲子算外，正月乙丑朔。{(x6\6f3|
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推算魯昭公十九年，閏在十二月之後，就以閏月為正月，而以正月為二月的 WN U'jK4sJ$m!I
算法：
推昭公十九年，歲在戊寅，閏在十二月下法：%t R V9J)Y*z4V G1g
推昭公十九年，歲在戊寅月朔法：
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推昭公二十年，歲在己卯月朔法：+H^'k"b_
正月大，己丑朔。大餘二十五，小餘四百七十。二月小，己未朔。大餘
五十五，小餘二十九。三月大，戊子朔。大餘二十四，小餘五百二十八。
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推昭公二十年，歲在己卯，正月己丑朔，旦冬至；而失云二月己丑冬至法：&r'jzPzQ L }0l.A
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甄鸞按：周曆昭公十九年，歲在戊寅。其年閏十二月。其月大，己未朔?:~4{3J3uL&D3w+[*e,v {
。二十年，歲在己卯。正月大，己丑朔。即以己丑朔，旦為冬至。而昭公十;q zD'B"H \p#|X}
九年，不置閏，乃以閏十二月為正月。故以為二月也。
推哀公十二年，歲在戊午。應置閏而不置，故書十二月有螽法：X8}+[5s5Y]
經云：「哀公十二年，冬十有二月螽」。季孫問諸仲尼。仲尼曰：「丘:O`F%r]a3v qKd
聞之，火伏而後蟄者畢。今火猶西流，司曆過也。」 CmqQ%m v
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求十二年閏月法：rhd/]+R {
置章歲十九。以閏餘十四減之，不盡五。以歲中十二乘之，得六十。以
章閏七除之，得八。命從正月起算外，即在八月下。
甄鸞按：周十二月，夏之十月也。哀公十二年，閏在夏八月下。當時實
是夏之九月，而失以閏月為九月，以九月為十月。故書「冬十有二月螽」也[color=white]
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查看完整版本: [书籍] 古算書 甄鸞 《五經算術》
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